Dr.Godfried-Willem RAES
Kursus Experimentele Muziek: Boekdeel 1: Algoritmische kompositie
Hogeschool Gent : Departement Muziek & Drama
| <Terug naar inhoudstafel kursus> | Naar Noot->frekwentie lookup table | Noot: de inhoud van deze paragraaf behoort tevens tot de leerstof voor het vak akoestiek. |
GELIJKZWEVENDE TOONSYSTEMEN
Alle hier uitgevoerde berekeningen gaan uit van diapason La = 440.0Hz Noten worden uitgedrukt als fraktionele midi getallen, waarbij noot 60 overeenkomt met de centrale Do (C) op het pianoklavier.
Kwintenspiralen: Reine kwinten (3:2) in gelijkzwevende stemmingen fout in cents: 1 aantal kwinten= 665 (aantal kwinten nodig om met 1 cent nauwkeurigheid te sluiten) fout in cents: 2 aantal kwinten= 359 fout in cents: 4 aantal kwinten= 53 fout in cents: 24 aantal kwinten= 12 De afwijking bij 12 tonen, benaderd de historische syntonische komma= 200/9 = 22.2
De gelijkzwevend verkregen intervallen kunnen we nu vergelijken met de juiste boventoonsintervallen:
In het 12-tonig gelijkzwevend systeem:
Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent: 15.64 2 ^ ( 3/ 12). Interval: 60 63 Juistheid van de 5:4 grote terts in cent: -13.69 2 ^ ( 4/ 12). Interval: 60 64 Juistheid van de 4:3 kwart in cent: -1.95 2 ^ ( 5/ 12). Interval: 60 65 Juistheid van de 3:2 kwint in cent: 1.96 2 ^ ( 7/ 12). Interval: 60 67 In het 53 tonig gelijkzwevend systeem: Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent: -1.34 2 ^ ( 14/ 53). Interval: 60 63.16981 Juistheid van de 5:4 grote terts in cent: 1.41 2 ^ ( 17/ 53). Interval: 60 63.84906 Juistheid van de 4:3 kwart in cent: -.07 2 ^ ( 22/ 53). Interval: 60 64.98113 Juistheid van de 3:2 kwint in cent: .07 2 ^ ( 31/ 53). Interval: 60 67.01887Dat een 53 toons systeem merkelijk juistere intervallen oplevert, hoeft geen betoog.
Reine kwarten (4:3) in gelijkzwevende stemmingen fout in cents: 1 aantal kwarten= 7621 fout in cents: 2 aantal kwarten= 306 fout in cents: 6 aantal kwarten= 253 fout in cents: 9 aantal kwarten= 200 fout in cents: 13 aantal kwarten= 147 fout in cents: 17 aantal kwarten= 94 fout in cents: 20 aantal kwarten= 41 fout in cents: 44 aantal kwarten= 29 fout in cents: 67 aantal kwarten= 17Bij een 41-tonen per oktaaf stemming in reine kwarten, wordt onze stemming juister dan wat kan worden bereikt bij een 53-toons verdeling in de reine kwinten stemming. De afwijking is dan net iets kleiner dan de syntonische komma.
Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent: -6.31 2 ^ ( 11/ 41). Interval: 60 63.21952 Juistheid van de 5:4 grote terts in cent: 5.83 2 ^ ( 13/ 41). Interval: 60 63.80488 Juistheid van de 4:3 kwart in cent: .48 2 ^ ( 17/ 41). Interval: 60 64.97561 Juistheid van de 3:2 kwint in cent: -.48 2 ^ ( 24/ 41). Interval: 60 67.02439 De verdeling van het oktaaf in zeventien intervallen levert: Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent: 33.29 2 ^ ( 4/ 17). Interval: 60 62.82353 Juistheid van de 5:4 grote terts in cent: 33.37 2 ^ ( 5/ 17). Interval: 60 63.52942 Juistheid van de 4:3 kwart in cent: 3.93 2 ^ ( 7/ 17). Interval: 60 64.94118 Juistheid van de 3:2 kwint in cent: -3.93 2 ^ ( 10/ 17). Interval: 60 67.05883Opdat de intervallencirkel zich binnen een redelijk aantal cycli zou sluiten, is het vereist dat het cirkelinterval geen deler is of gemeenschappelijk heeft met 12, teminste voorzover we een toonsysteem willen waarin konventionele muziek nog steeds redelijk speelbaar blijft... Op grond hiervan zouden we dan ook een systeem kunnen baseren op de juiste grote septiem.
Grote septiemen (15:8) in gelijkzwevende stemmingen fout in cents: 1 aantal 15:8 septiemen= 537 fout in cents: 3 aantal 15:8 septiemen= 247 fout in cents: 7 aantal 15:8 septiemen= 204 fout in cents: 12 aantal 15:8 septiemen= 161 fout in cents: 16 aantal 15:8 septiemen= 118 fout in cents: 21 aantal 15:8 septiemen= 75 fout in cents: 25 aantal 15:8 septiemen= 32 fout in cents: 54 aantal 15:8 septiemen= 21 Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent: -27.22 2 ^ ( 6/ 21). Interval: 60 63.42857 Juistheid van de 5:4 grote terts in cent: -13.69 2 ^ ( 7/ 21). Interval: 60 64 Juistheid van de 4:3 kwart in cent: -16.24 2 ^ ( 9/ 21). Interval: 60 65.14285 Juistheid van de 3:2 kwint in cent: 16.24 2 ^ ( 12/ 21). Interval: 60 66.85714
Grote juiste tertsen (5:4) in gelijkzwevende stemmingen fout in cents: 1 aantal 5:4 tertsen= 2075 fout in cents: 2 aantal 5:4 tertsen= 146 fout in cents: 10 aantal 5:4 tertsen= 87 fout in cents: 17 aantal 5:4 tertsen= 28 fout in cents: 58 aantal 5:4 tertsen= 25 fout in cents: 99 aantal 5:4 tertsen= 22 Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent: -11.63 2 ^ ( 6/ 22). Interval: 60 63.27273 Juistheid van de 5:4 grote terts in cent: 4.5 2 ^ ( 7/ 22). Interval: 60 63.81818 Juistheid van de 4:3 kwart in cent: 7.14 2 ^ ( 9/ 22). Interval: 60 64.90909 Juistheid van de 3:2 kwint in cent: -7.14 2 ^ ( 13/ 22).Interval: 60 67.09091 Kleine juiste tertsen (6:5) in gelijkzwevende stemmingen fout in cents: 1 aantal 6:5 tertsen= 422 fout in cents: 4 aantal 6:5 tertsen= 403 fout in cents: 7 aantal 6:5 tertsen= 384 fout in cents: 10 aantal 6:5 tertsen= 365 fout in cents: 12 aantal 6:5 tertsen= 346 fout in cents: 15 aantal 6:5 tertsen= 327 fout in cents: 18 aantal 6:5 tertsen= 308 fout in cents: 21 aantal 6:5 tertsen= 289 fout in cents: 24 aantal 6:5 tertsen= 270 fout in cents: 26 aantal 6:5 tertsen= 251 fout in cents: 29 aantal 6:5 tertsen= 232 fout in cents: 32 aantal 6:5 tertsen= 213 fout in cents: 35 aantal 6:5 tertsen= 194 fout in cents: 38 aantal 6:5 tertsen= 175 fout in cents: 41 aantal 6:5 tertsen= 156 fout in cents: 43 aantal 6:5 tertsen= 137 fout in cents: 46 aantal 6:5 tertsen= 118 fout in cents: 49 aantal 6:5 tertsen= 99 fout in cents: 52 aantal 6:5 tertsen= 80 fout in cents: 55 aantal 6:5 tertsen= 61 fout in cents: 57 aantal 6:5 tertsen= 42 fout in cents: 60 aantal 6:5 tertsen= 23
De gelijkzwevende 19 toons verdeling van het oktaaf heeft een grote graad van perfektie bereikt voor de harmonische juistheid van de kleine tertsen. Het is een stemming die heel wat verdedigers heeft gehad.
Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent: -.15 2 ^ ( 5/ 19). Interval: 60 63.1579 Juistheid van de 5:4 grote terts in cent: 7.37 2 ^ ( 6/ 19). Interval: 60 63.78947 Juistheid van de 4:3 kwart in cent: -7.22 2 ^ ( 8/ 19). Interval: 60 65.05264 Juistheid van de 3:2 kwint in cent: 7.22 2 ^ ( 11/ 19). Interval: 60 66.94737 Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent: 2.6 2 ^ ( 6/ 23). Interval: 60 63.13044 Juistheid van de 5:4 grote terts in cent: 21.1 2 ^ ( 7/ 23). Interval: 60 63.65218 Juistheid van de 4:3 kwart in cent: -23.69 2 ^ ( 10/ 23). Interval: 60 65.21739 Juistheid van de 3:2 kwint in cent: 23.69 2 ^ ( 13/ 23). Interval: 60 66.78261
Uit bovenstaande berekeningen en overwegingen blijkt de op kwinten gesteunde gelijkzwevende stemming voor een 12 tonige verdeling van het oktaaf alleszins nog het meest ekonomisch te zijn. Maar, in plaats van uit te gaan van een enkel interval dat we zo dicht mogelijk bij het platonische ideaal laten aanleunen, kunnen we ook pogen een optimalisatie te vinden waarbij zoveel mogelijk van de diatonische intervallen 'juist' klinken. Dit is precies wat Huygens en Fokker voor ogen stond bij de ontwikkeling van de door hen voorgestelde gelijkzwevende stemming met 31-tonen per oktaaf.
Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent: 5.96 2 ^ ( 8/ 31). Interval: 60 63.09678 Juistheid van de 5:4 grote terts in cent: -.78 2 ^ ( 10/ 31). Interval: 60 63.87097 Juistheid van de 4:3 kwart in cent: -5.18 2 ^ ( 13/ 31). Interval: 60 65.03226 Juistheid van de 3:2 kwint in cent: 5.18 2 ^ ( 18/ 31). Interval: 60 66.96774In plaats van het oktaaf te verdelen in twaalf gelijkzwevende delen, kunnen we ook de duodeciem (oktaaf + kwint) gelijkzwevend verdelen in 19 halvetoons intervallen. Het voordeel is dat we dan steeds juiste kwinten hebben, maar de oktaven iets aan juistheid inboeten. In de laatste jaren gaan meer en meer stemmen op om onze pianos en orkestinstrumenten op deze wijze te gaan stemmen en intoneren.
Vergelijking verdeling oktaaf in 12 delen, of duodeciem in 19 delen, gelijkzwevend noot= 24 12-root 2 freq= 32.7032 19-root 3 freq= 32.7032 noot= 25 12-root 2 freq= 34.64783 19-root 3 freq= 34.64989 noot= 26 12-root 2 freq= 36.7081 19-root 3 freq= 36.71247 noot= 27 12-root 2 freq= 38.89088 19-root 3 freq= 38.89782 noot= 28 12-root 2 freq= 41.20345 19-root 3 freq= 41.21325 noot= 29 12-root 2 freq= 43.65354 19-root 3 freq= 43.66651 noot= 30 12-root 2 freq= 46.24931 19-root 3 freq= 46.26581 noot= 31 12-root 2 freq= 48.99944 19-root 3 freq= 49.01983 noot= 32 12-root 2 freq= 51.9131 19-root 3 freq= 51.93779 noot= 33 12-root 2 freq= 55.00001 19-root 3 freq= 55.02944 noot= 34 12-root 2 freq= 58.27048 19-root 3 freq= 58.30512 noot= 35 12-root 2 freq= 61.73542 19-root 3 freq= 61.7758 noot= 36 12-root 2 freq= 65.4064 19-root 3 freq= 65.45307 noot= 37 12-root 2 freq= 69.29567 19-root 3 freq= 69.34923 noot= 38 12-root 2 freq= 73.41621 19-root 3 freq= 73.47732 noot= 39 12-root 2 freq= 77.78176 19-root 3 freq= 77.85114 noot= 40 12-root 2 freq= 82.40691 19-root 3 freq= 82.4853 noot= 41 12-root 2 freq= 87.30708 19-root 3 freq= 87.39533 noot= 42 12-root 2 freq= 92.49862 19-root 3 freq= 92.59763 noot= 43 12-root 2 freq= 97.99888 19-root 3 freq= 98.1096 noot= 44 12-root 2 freq= 103.8262 19-root 3 freq= 103.9497 noot= 45 12-root 2 freq= 110 19-root 3 freq= 110.1374 noot= 46 12-root 2 freq= 116.541 19-root 3 freq= 116.6934 noot= 47 12-root 2 freq= 123.4708 19-root 3 freq= 123.6397 noot= 48 12-root 2 freq= 130.8128 19-root 3 freq= 130.9995 noot= 49 12-root 2 freq= 138.5913 19-root 3 freq= 138.7974 noot= 50 12-root 2 freq= 146.8324 19-root 3 freq= 147.0595 noot= 51 12-root 2 freq= 155.5635 19-root 3 freq= 155.8134 noot= 52 12-root 2 freq= 164.8138 19-root 3 freq= 165.0883 noot= 53 12-root 2 freq= 174.6142 19-root 3 freq= 174.9154 noot= 54 12-root 2 freq= 184.9972 19-root 3 freq= 185.3274 noot= 55 12-root 2 freq= 195.9978 19-root 3 freq= 196.3592 noot= 56 12-root 2 freq= 207.6524 19-root 3 freq= 208.0477 noot= 57 12-root 2 freq= 220 19-root 3 freq= 220.432 noot= 58 12-root 2 freq= 233.0819 19-root 3 freq= 233.5534 noot= 59 12-root 2 freq= 246.9417 19-root 3 freq= 247.4559 noot= 60 12-root 2 freq= 261.6256 19-root 3 freq= 262.186 noot= 61 12-root 2 freq= 277.1827 19-root 3 freq= 277.7929 noot= 62 12-root 2 freq= 293.6648 19-root 3 freq= 294.3288 noot= 63 12-root 2 freq= 311.127 19-root 3 freq= 311.8491 noot= 64 12-root 2 freq= 329.6276 19-root 3 freq= 330.4122 noot= 65 12-root 2 freq= 349.2283 19-root 3 freq= 350.0803 noot= 66 12-root 2 freq= 369.9945 19-root 3 freq= 370.9192 noot= 67 12-root 2 freq= 391.9955 19-root 3 freq= 392.9986 noot= 68 12-root 2 freq= 415.3048 19-root 3 freq= 416.3923 noot= 69 12-root 2 freq= 440.0001 19-root 3 freq= 441.1784 noot= 70 12-root 2 freq= 466.1638 19-root 3 freq= 467.4401 noot= 71 12-root 2 freq= 493.8834 19-root 3 freq= 495.2649 noot= 72 12-root 2 freq= 523.2512 19-root 3 freq= 524.7461 noot= 73 12-root 2 freq= 554.3654 19-root 3 freq= 555.9822 noot= 74 12-root 2 freq= 587.3296 19-root 3 freq= 589.0776 noot= 75 12-root 2 freq= 622.2541 19-root 3 freq= 624.1431 noot= 76 12-root 2 freq= 659.2552 19-root 3 freq= 661.2958 noot= 77 12-root 2 freq= 698.4566 19-root 3 freq= 700.6602 noot= 78 12-root 2 freq= 739.989 19-root 3 freq= 742.3677 noot= 79 12-root 2 freq= 783.991 19-root 3 freq= 786.558 noot= 80 12-root 2 freq= 830.6096 19-root 3 freq= 833.3787 noot= 81 12-root 2 freq= 880.0001 19-root 3 freq= 882.9864 noot= 82 12-root 2 freq= 932.3277 19-root 3 freq= 935.5471 noot= 83 12-root 2 freq= 987.7668 19-root 3 freq= 991.2366 noot= 84 12-root 2 freq= 1046.502 19-root 3 freq= 1050.241 noot= 85 12-root 2 freq= 1108.731 19-root 3 freq= 1112.758 noot= 86 12-root 2 freq= 1174.659 19-root 3 freq= 1178.996 noot= 87 12-root 2 freq= 1244.508 19-root 3 freq= 1249.177 noot= 88 12-root 2 freq= 1318.51 19-root 3 freq= 1323.535 noot= 89 12-root 2 freq= 1396.913 19-root 3 freq= 1402.32 noot= 90 12-root 2 freq= 1479.978 19-root 3 freq= 1485.795 noot= 91 12-root 2 freq= 1567.982 19-root 3 freq= 1574.238 noot= 92 12-root 2 freq= 1661.219 19-root 3 freq= 1667.946 noot= 93 12-root 2 freq= 1760 19-root 3 freq= 1767.233 noot= 94 12-root 2 freq= 1864.655 19-root 3 freq= 1872.429 noot= 95 12-root 2 freq= 1975.534 19-root 3 freq= 1983.888 noot= 96 12-root 2 freq= 2093.005 19-root 3 freq= 2101.981 noot= 97 12-root 2 freq= 2217.461 19-root 3 freq= 2227.103 noot= 98 12-root 2 freq= 2349.319 19-root 3 freq= 2359.674 noot= 99 12-root 2 freq= 2489.016 19-root 3 freq= 2500.136 noot= 100 12-root 2 freq= 2637.021 19-root 3 freq= 2648.959 noot= 101 12-root 2 freq= 2793.826 19-root 3 freq= 2806.641 noot= 102 12-root 2 freq= 2959.956 19-root 3 freq= 2973.71 noot= 103 12-root 2 freq= 3135.964 19-root 3 freq= 3150.723 noot= 104 12-root 2 freq= 3322.438 19-root 3 freq= 3338.273 noot= 105 12-root 2 freq= 3520 19-root 3 freq= 3536.987 noot= 106 12-root 2 freq= 3729.311 19-root 3 freq= 3747.53 noot= 107 12-root 2 freq= 3951.067 19-root 3 freq= 3970.606 noot= 108 12-root 2 freq= 4186.01 19-root 3 freq= 4206.96 noot= 109 12-root 2 freq= 4434.923 19-root 3 freq= 4457.384 noot= 110 12-root 2 freq= 4698.637 19-root 3 freq= 4722.715 noot= 111 12-root 2 freq= 4978.033 19-root 3 freq= 5003.84 noot= 112 12-root 2 freq= 5274.042 19-root 3 freq= 5301.699 noot= 113 12-root 2 freq= 5587.653 19-root 3 freq= 5617.288 noot= 114 12-root 2 freq= 5919.912 19-root 3 freq= 5951.662 noot= 115 12-root 2 freq= 6271.928 19-root 3 freq= 6305.942 noot= 116 12-root 2 freq= 6644.876 19-root 3 freq= 6681.31 noot= 117 12-root 2 freq= 7040.001 19-root 3 freq= 7079.022 noot= 118 12-root 2 freq= 7458.622 19-root 3 freq= 7500.408 noot= 119 12-root 2 freq= 7902.134 19-root 3 freq= 7946.878 noot= 120 12-root 2 freq= 8372.02 19-root 3 freq= 8419.924 Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent: 15.33 3 ^ ( 3/ 19). Interval: 60 63.00309 Juistheid van de 5:4 grote terts in cent: -14.1 3 ^ ( 4/ 19). Interval: 60 64.00412 Juistheid van de 4:3 kwart in cent: -2.47 3 ^ ( 5/ 19). Interval: 60 65.00515 Juistheid van de 3:2 kwint in cent: 1.24 3 ^ ( 7/ 19). Interval: 60 67.0072 Juistheid van de 2:1 oktaaf in cent: -1.24 3 ^ ( 12/ 19).Interval: 60 72.01235
Kwarttoons gelijkzwevende stemmingen hebben in de loop van de geschiedenis tot op vandaag vele pleitbezorgers gekend. Charles Ives, Yvan Wiesniegradsky en Alois Haba zijn wellicht de bekendste voorbeelden uit de eerste helft van de twintigste eeuw. Er werden en worden ook heel wat instrumenten speciaal voor gebouwd en ontworpen.
tabellen met de afwijkingen tegenover de juiste boventoonsstemming van alle gelijkzwevende stemmingen opgebouwd uit 7 tot 53 intervallen per oktaaf:
Filedate: 2001-02-15 /2007-03-25
| Terug naar inhoudstafel kursus: <Index Kursus> | Naar homepage dr.Godfried-Willem RAES | Naar opzoektabel noot-> frekwentie |