Godfried-Willem Raes

'Magische Vierkanten'

'Magic Squares'

 

a suite of mappings for large robot orchestra

2024

duur: ca. 30'

 

Susanne Langer beschreef muziek als een onvoltrokken taal, een syntactisch gevormde taal waaraan de semantische verwijzing naar de wereld geheel ontbreekt. Inderdaad, muziek verwijst uitsluitend naar interne toestanden van het menselijk bewustzijn. Die 'internal states of mind' kunnen enerzijds bestaan uit onze ervaringen en emotionele toestanden en anderzijds uit zuiver abstrakte koncepten. Tot die laatste behoren alle objekten die door de wiskunde worden beschreven. Niet alleen meetkundige figuren maar evenzeer algebraische vergelijkingen en algoritmen. Muziek die zich tot doel stelt die abstrakte koncepten muzikaal tot uiting te brengen door hen te verklanken, zouden we dan ook met recht en reden 'objektieve' muziek kunnen noemen. Muziek dus, waaraan individuele pathos geheel vreemd en die ontdaan is van alle emotie. Net zoals heel wat van mijn komposities, behoren ook deze reeks magische vierkanten tot de meest abstracte muziek die we ons zowat kunnen voorstellen.

Magische vierkanten zijn een 'Spielerei' uit de rekenkunde waarbij vierkante matrixen gevormd worden zo dat de som van de verschillende getallen in de rijen zowel als de som van de getallen in de kolommen telkens eenzelfde getal oplevert. Bovendien geldt dit ook voor de som van de getallen op de diagonalen van de matrix. Het aantal rijen en kolommen noemt men de orde van het magisch vierkant, sigma is dan de kenmerkende som van rijen en kolommen.

MSQ1

Het zal onmiddellijk duidelijk zijn dat voor orde 1 het magisch vierkant de uiterst triviale vorm 1 aanneemt. Onze verklanking ervan bestaat dan ook uit een enkel unisono op C#, overeenkomstig 1 MOD 12 = 1. De C# doorloopt daarbij wel alle mogelijke oktaafliggingen. Aangezien de laagste ligging buiten het gebied van het hoorbare valt, trommelen we die aan het tempo overeenkomend met C#0. We doopten het stukje MSQ1.

Download/beluister audio-bestand MP3

MSQ2

Voor orde 2 krijgen we te maken met een principiele onmogelijkheid omdat niet aan de voorwaarde kan worden voldaan dat de getallen in de matrix verschillend moeten zijn. Wanneer we deze voorwaarde echter zouden laten vallen, dat wordt het vierkant triviaal, want dan geldt het voor alle getallen. Vanwege de onmogelijkheid van dit vierkant, verklankten we dit middels stilte en maakten we hier uitsluitend gebruik van de licht- en bewegingsmogelijkheden van de robots. Het werd MSQ2.

MSQ3, 'saturnus'

Vanaf orde 3, krijgen we te maken met allerlei magische vierkanten die in de menselijke beschavingsgeschiedenis tot duizenden jaren terug gaan. Het eenvoudigste magisch vierkant met orde 3 heeft sigma 15 en vinden we terug bij Lo Shu in China en -met sigma 72- bij Kubera-Kolam in India.

Orde 3, sigma 15:

8 3 4
1 5 9
6 7 2

tellen we in alle cellen 19 bij, dan krijgen we het orde 3 sigma 72 vierkant:

23 28 21
22 24 26
27 20 25

Een magisch vierkant opgebouwd met uitsluitend priemgetallen blijkt ook mogelijk. Hier een orde 3 sigma 177 vierkant met uitsluitend priemen:

101
5
71
29
59
89
47
113
17

Het merkwaardige met dit vierkant is, dat wanneer we de getallen als midi-noten interpreren, we slechts 1 enkel interval terugkrijgen, namelijk de tritonus B-F.

Deze drie vierkanten kombineerden we tot een stukje van 2'51" onder de titel MSQ3, hoewel het ook MSQ3.15-72-177 had kunnen zijn.

MSQ4.33

Magische vierkanten orde 4, laten meteen ook heel wat meer mogelijkheden en variaties zien. Ook deze kennen een heel lange geschiedenis.

Een uitwerking van het magisch vierkant voor het getal 33, dat in de Schotse maconieke ritus -uiteraard afgeleid van het nieuw testament in de bijbel- een belangrijke rol speelt. 33 is namelijk de leeftijd waarop de mythishe figuur Jezus zou zijn gestorven. Een uitwerking voor n = 4 van de formule c = (n(n^2 +1))/2)-1 levert 33 op voor c. Dit magisch vierkant ziet eruit alsvolgt:

1
14
14
4
11
7
6
9
8
10
10
5
13
2
3
15

Dit vierkant is o.m. terug te vinden in de gevel van de Sagrada Familia basiliek in Barcelona.

De som van de getallen in elke kolom, evenals in elke rij, is telkens 33. Ook de som van de diagonale getallen is 33. De mapping maakt gebruik van zowel de horizontale lezingen als van de vertikale die tot harmonische samenklanken aanleiding geven.

De konstruktie van dit vierkant rammelt aan vele kanten en het is duidelijk dat de door religieuze symboliek bedwelmde numerologen het magisch vierkant met sigma 34 hebben verkracht om tot 33 te komen waarvoor ze getallen dienden te herhalen: zo komen de getallen 14 en 10 tweemaal voor. Deze verklanking doopten we MSQ4.33

Download/beluister audio-bestand MP3

MSQ4.34, 'jupiter'

Het sigma 34 vierkant - dat we o.m. bij Albrecht Dürer weervinden in zijn ets Melencolia I uit 1514- ziet er zo uit:

16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1

een variant uit de 10e eeuw in India uit de Chantisa Yantra ziet er zo uit:

7
12
1
14
2
13
8
11
16
3
10
5
9
6
15
4

De verklanking werd MSQ4.34, waarin beide verschijningsvormen van het magisch vierkant in klank worden getoond. De indische variant is een vele opzichten perfekter dan die van Durer, omdat alle sub-vierkanten waaruit het is opgebouwd, ook eenzelfde sigma som opleveren.

Download/beluister audio-bestand MP3

MSQ5.65, 'mars'

11
24
7
20
3
4
12
25
8
16
17
5
13
21
9
10
18
1
14
22
23
6
19
2
15

De muzikale uitwerking van dit vierkant werd een palindroom. Een rustige aftastende wandeling doorheen het vierkant, met een hieratisch rustpunt hier en daar. Het centrale getal 13 speelt daarbij een speciale rol.

Download/beluister audio-bestand MP3

MSQ6.111, 'sol'

6
32
3
34
35
1
7
11
27
28
8
30
19
14
16
15
23
24
18
20
22
21
17
13
25
29
10
9
26
12
36
5
33
4
2
31

Voor de verklanking van dit vierkant, kozen we voor een luchtige 6/8 maat. Bijna alle rijen en kolommen leveren hier sterke dissonanten op, met uitzondering van kolommen 2 en 5. Samen met de tot dissonante vierklanken te herleiden kolommen 1= 6 en 4 = 3 gebruikten we die voor de bereiding van de slotkadens.

Duur: 1'

Download/beluister audio-bestand MP3

MSQ7.175, 'venus'

Dit magisch vierkant omvat 49 verschillende getallen waarbij de som van alle rijen en kolommen telkens op 175 uitkomt. Voor de verklanking ervan gebruikten we de kwarttoonsinstrumenten van het robotorkest: <Qt>, <Puff>, <Xy>< en <Tubi>. Alle even getallen mapten we op de 'gewone' getemperde kromatische toonladder terwijl de oneven getallen van de kwarttonen gebruik maken. Merk op dat de diagonaal links-boven naar rechts-onder een dalende kwarttoonsladder vormt.

22 47 16 41 10 35 4
5 23 48 17 42 11 29
30 6 24 49 18 36 12
13 31 7 25 43 19 37
38 14 32 1 26 44 20
21 39 8 33 2 27 45
46 15 40 9 34 3 28

Duur: 2'

Download/beluister audio-bestand MP3

MSQ8.260, 'mercurius'

Aangezien de 64 getallen waarmee we hier te maken krijgen, in het bereik 1 tot 64 liggen, besloten we voor de mapping alle getallen als midi-noten te interpreteren, maar dan wel twee oktaven naar omhoog getransponeerd. Een ostinato gedistileerd uit de diagonalen van het vierkant vertrouwden we toe aan de piano terwijl het maatcijfer met 8/4 voor de hand lag. Het tempo, MM130, maakt er een eerder vrolijke verklanking van.

8
58
59
5
4
62
63
1
49
15
14
52
53
11
10
56
41
23
22
44
45
19
18
48
32
34
35
29
28
38
39
25
40
26
27
37
36
30
31
33
17
47
46
20
21
43
42
24
9
55
54
12
13
51
50
16
64
2
3
61
60
6
7
57

Duur: 2'05"

Download/beluister audio-bestand MP3

MSQ9.369, 'luna'

Het magisch vierkant met orde 9 is gekenmerkt door de sigma som 369 en er zijn 81 verschillende getallen.

37
78
29
70
21
62
13
54
5
6
38
79
30
71
22
63
14
46
47
7
39
80
31
72
23
55
15
16
48
8
40
81
32
64
24
56
57
17
49
9
41
73
33
65
25
26
58
18
50
1
42
74
34
66
67
27
59
10
51
2
43
75
35
36
68
19
60
11
52
3
44
76
77
28
69
20
61
12
53
4
45

Voor de verklanking gebruikten we alle rijen -van links naar rechts en omgekeerd- evenals de diagonalen. De 41 als centraal getal bracht ons tot een tonale aantrekkingspool op F (Fa). In hoofdzaak maakt de orkestrale uitwerking gebruik van een orgel -in een tot 1 oktaaf beperkte tessituur- en de piano, omwille van de erg uitgebreide tessituur. Overige instrumenten worden gebruikt om de extreme intervallen te benadrukken. Een versie voor klein orgel (bvb. <Bomi>) en piano is ook perfekt mogelijk.

Duur: 3'00"

Download/beluister audio-bestand MP3

Magische vierkanten met ordes 10, 11 en 12 hopen we in de nabije toekomst nog uit te werken.

.

 

Gottfried-Wilhelm Leibniz: “Musik ist die versteckte arithmetische Tätigkeit der Seele, die sich nicht dessen bewußt ist, daß sie rechnet.”


De verschillende delen van deze suite kunnen en mogen ook afzonderlijk uitgevoerd worden. Ook de volgorde mag naar eigen inzicht en keus bepaald worden.

Gedeeltelijke Premiere: 19 december 2024, 20u00 : Logos Tetraeder Gent.

 

 

The scores may undergo some minor changes and updates in the near future.

Bibliografie:

Wikipedia, zoekterm 'Magic Square', laatst bezocht op 11.11.2024.

Godfried-Willem RAES
Public Domain, december 2024
Back to Godfried-Willem Raes homepage Back to catalogue of compositions by Godfried-Willem Raes Back to the logos website

P.S.: Voor uitvoeringen noch reprodukties van dit stuk moeten noch mogen auteursrechten worden betaald. Elke poging tot inning van auteursrechten, door welke instantie ook, naar aanleiding van publieke uitvoeringen evenals opnames van deze stukken kan gerechterlijk als poging tot afpersing worden vervolgd. Elke feitelijke inning is afpersing en diefstal en kan als dusdanig worden vervolgd.

 

Technical notes:

midi format 1 files only to be played using the GMT midi player. Note that 8 midi output ports are required to perform these pieces. All these files should only be played by the Logos Robot Orchestra.

Links to the midi-files: